Solución que proponemos

Supongamos que los puntos A y B tienen por coordenadas A=(0,1) y B=(0,-1), siendo las coordenadas de los centros de las circunferencias C₁=(a,0). y C₂=(b,0) Consideremos vectores $\nu =(\nu _{1},\nu _{2})$ y $\omega =(\omega _{1},\omega _{2})$ con puntos de anclaje en Ay B respectivamente. Una recta por A y vector director $\nu$ corta a la circunferencia C₁ en el punto A₁=(x₁,y₁). Para calcular sus coordenadas hemos de considerar al punto A₁ como perteneciente a la recta anterior: Así,

  

$$x_{1}-\alpha \nu _{1}$$ = 0 (1)

$$y_{1}-1-\alpha \nu _{2}$$ = 0 (2)

La condición de pertenecer igualmente a la circunferencia C₁ viene dada por la siguiente ecuación de segundo grado en x₁ e y₁:

$$\left( x_{1}-a\right) ^{2}+y_{1}^{2}=1+a^{2}$$

Al substituir con las igualdades anteriores en esta, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado en $\alpha :$

$$(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})\alpha ^{2}+2\left( v_{2}-v_{1}\right) \alpha =0$$

Una de sus soluciones es obviamente $\alpha =0,$ lo que nos ofrece el punto A. La otra solución de $\alpha$ será la que nos interesará ¹:

$$(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})\alpha +2\left( v_{2}-v_{1}\right) =0$$ (3)

Sean $g_{1}(x_{1},\alpha ),$ $g_{2}(y_{1},\alpha )$ y $g_{3}(\alpha )$ los polinomios que conseguimos con las ecuaciones (1), (2) y (3) respectivamente. Usando el mismo procedimiento conseguimos polinomios $g_{4}(x_{2},\beta ),$ $g_{5}(y_{2},\beta )$ y $g_{6}(\beta )$ (al considerar el punto A₂), $g_{7}(x_{3},\gamma ),$ $g_{8}(y_{3},\gamma )$y $g_{9}(\gamma )$ (al considerar el punto B₁) y finalmente $% g_{10}(x_{4},\delta ),$ $g_{11}(y_{4},\delta )$ y $g_{12}(\delta )$ (al considerar el punto B₂). El ponimonio tesis se consigue al considerar la ecuación que establece el paralelismo de los segmentos A₁B₁ y A₂B₂.

(y₄-y₂)(x₃-x₁)-(y₃-y₁)(x₄-x₂)=0

Usando ahora el método de Ritt-Wu con estos polinomios (obsérvese que no es necesario triangular previamente el sistema, pues simplemente ordenando los polinomios convenientemente se tiene conseguido este propósito), obtenemos la demostración de la afirmación pedida.

$$\begin{tabular}{llll} $h_{1}=g_{1}$\space & $h_{2}=g_{2}$\spa... ...\space & $h_{11}=g_{9}$\space & $h_{12}=g_{12}$ % \end{tabular}$$

Observamos que las condiciones de degeneración se reducen a que los vectores $\nu$ y $\omega$ sean no nulos:

$$\begin{eqnarray*}\nu _{1}^{2}+\nu _{2}^{2} &\neq &0 \\ \omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2} &\neq &0 \end{eqnarray*}$$